Záchrana stroskotanca

30 min., 2/3

Lietadlo hľadá na otvorenom mori pozíciu stroskotanca, ktorý má na svojom člne zariadenie vysielajúce tiesňový signál. Zariadenie má len obmedzený dosah. Pri lete nad morom posádka lietadla signál zachytí, ale po chvíli ho stratí. Pilot preto lietadlo stočí a podarí sa mu signál na kratší dobu opäť zachytiť.

Trajektória celého letu je aj s naznačeným smerom a miestami zachytenia (body \(A_1\) a \(A_2\)) a strát (body \(B_1\) a \(B_2\)) signálu znázornená na mape.

Počas oboch dôb, keď posádka prijímala signál, lietadlo nemalo svoju výšku, medzi bodmi \(B_1\) a \(A_2\) znížilo svoju výšku o \(500\,\text{m}\).

Riešenie. Obmedzený dosah stroskotancovho tiesňového signálu určuje v priestore nad hladinou pologuľu, ktorej stred je polohou stroskotanca. Vodorovné rezy tejto pologule sú kruhy, ktoré sa na mape javia ako sústredné so stredom v bode \(X\).

Pretože lietadlo medzi bodmi \(A_1\) a \(B_1\) nemení svoju výšku, je \(A_1B_1\) tetivou istej kružnice \(k_1\) so stredom v bode \(X\). Ten tak musí ležať na osi úsečky \(A_1B_1\). Z rovnakého dôvodu musí bod \(X\) ležať aj na osi úsečky \(A_2B_2\); je totiž stredom istej kružnice \(k_2\), ktorej je táto úsečka tetivou.

Riešenie.

1. Na vyriešenie úlohy potrebujeme poznať dosah stroskotancovho zariadenia, čo je polomer \(r\) pologule zmienený v riešení predošlej úlohy. Prenesením úsečiek \(A_1X\) a \(A_2X\) na mierku a zaokrúhlením ich dĺžok na desatiny kilometra dostávame \(\lvert A_1X \rvert \doteq 2{,}9\,\text{km}\) a \(\lvert A_2X \rvert \doteq 3{,}4\,\text{km}\). Tieto dĺžky sú zrejme polomery \(r_1\) a \(r_2\) kružníc \(k_1\) a \(k_2\).

Uvažujme taký priemet pologule, v ktorom sa kružnice \(k_1\) a \(k_2\) zobrazia po rade ako rovnobežné úsečky \(K_1L_1\) a \(K_2L_2\) také, že majú rovnakú os \(o\), ich dĺžky sú po rade \(2r_1\) a \(2r_2\) a ich vzdialenosť je \(0{,}5\,\text{km}\). Označme ďalej stred pologule \(S\), stred úsečky \(K_1L_1\) ako \(S_1\) a stred úsečky \(K_2L_2\) ako \(S_2\). Pozri obrázok, v ktorom je pre názornosť vyznačená aj morská hladina priamkou \(h\).

Z Pytagorovej vety aplikovanej na trojuholníky \(SS_1K_1\) a \(SS_2L_2\) plynú rovnosti \[ \begin{align*} r^2 &= r_1 ^2 + \lvert SS_1 \rvert ^2 \\ r^2 &= r_2 ^2 + \lvert SS_2 \rvert ^2. \end{align*} \]

Platí však \(\lvert SS_1 \rvert = \lvert SS_2 \rvert + 0{,}5\). Dosadením do prvej rovnice a porovnaním oboch strán dostávame lineárnu rovnicu s jedinou neznámou \(\lvert SS_2 \rvert\), ktorú vyriešime: \[ \begin{align*} r_2 ^2 + \lvert SS_2 \rvert ^2 &= r_1 ^2 + \left( \left\lvert SS_2 \right\rvert + 0{,}5 \right) ^2 \\[1mm] \left\lvert SS_2 \right\rvert &= r_2^2 - r_1^2 - 0{,}25 \end{align*} \]

Vyjadrením \(r\) z druhej rovnice a následným dosadením dostávame \[ r = \sqrt{r_2 ^2 + \left(r_2^2 - r_1^2 - 0{,}25 \right)^2 } \doteq 4{,}5\,\text{km}. \]

Vzdialenosť lode od stroskotanca je dĺžkou úsečky \(LX\). Prenesením tejto úsečky na mierku vyčítame \(\lvert LX \rvert \doteq 4{,} 0\,\text{km}\), úsečka je teda kratšia než dosah \(r\) stroskotancovho signálu. Loď preto môže tento signál zaznamenať.

2. Na odvodenie konštrukčného riešenia úlohy (t. j. skonštruovanie polomeru \(r\) pologule) využijeme rovnaký pomocný priemet pologule ako v Úlohe 2a. Stred pologule \(S\) je priesečníkom spoločnej osi \(o\) úsečiek \(K_1L_1\) a \(K_2L_2\) a osi úsečky \(L_1L_2\), pretože tá je tetivou obrysu polkružnice \(k\). Hľadaný polomer \(r\) je potom napr. veľkosťou úsečky \(SK_1\), pozri obrázok.

Pri samotnom vykonaní konštrukcie prenášame vzdialenosti \(r_1\) a \(r_2\) z riešenia Úlohy 1 (kde pripomíname, že platí \(r_1=\lvert A_1X\rvert\) a \(r_2=\lvert A_2X\rvert\)), vzdialenosť stredov kružníc \(|S_1S_2|=d_{0{,}5}\), kde \(d_{0{,}5}\) označuje vzdialenosť na mape zodpovedajúcu \(0{,}5\,\text{km}\), ktorú nanášame z mierky.

Priemet pologule na mape ohraničuje kružnica \(l\) so stredom v bode \(X\) a polomerom \(r\), ktorý prenesieme z pomocného priemetu. Po skonštruovaní tejto kružnice je vidieť, že sa loď nachádza v dosahu núdzového signálu.