Ratowanie rozbitka
30 min., 
2/3 Samolot przeszukuje otwarte morze w poszukiwaniu rozbitka, który ma na swojej tratwie urządzenie wysyłające sygnał SOS. Urządzenie ma ograniczony zasięg. Podczas lotu nad morzem załoga odbiera sygnał, ale po chwili sygnał zanika. Pilot zawraca samolot i udaje się ponownie odebrać sygnał, choć tylko na krótko.
Trajektoria całego lotu, w tym kierunek podróży i punkty, w których sygnał został odebrany (punkty \(A_1\) i \(A_2\)) oraz utracony (punkty \(B_1\) i \(B_2\)), jest pokazana na mapie.
W obu okresach, kiedy załoga odebrała sygnał, samolot utrzymywał stałą wysokość. Między punktami \(B_1\) i \(A_2\) samolot opadł o \(500,\text{m}\).
Ćwiczenie 1. Wykorzystaj konstrukcję geometryczną na mapie, aby określić położenie \(X\) rozbitka. Rozwiązanie. Ograniczony zasięg sygnału alarmowego rozbitka określa półkulę nad powierzchnią morza, której środek znajduje się w pozycji rozbitka. Poziome przekroje tej półkuli to okręgi, które na mapie wyglądają jak koncentryczne okręgi skupione w punkcie \(X\).
Ponieważ samolot utrzymywał stałą wysokość między punktami \(A_1\) i \(B_1\), odcinek \(A_1B_1\) tworzy cięciwę pewnego okręgu \(k_1\) o środku w punkcie \(X\). Dlatego punkt \(X\) musi leżeć na symetralnej odcinka \(A_1B_1\). Z tego samego powodu punkt \(X\) musi również leżeć na symetralnej odcinka \(A_2B_2\), ponieważ odcinek ten jest cięciwą innego okręgu \(k_2\) o środku w punkcie \(X\).
Ćwiczenie 2. W okolicy znajduje się statek towarowy (pozycja \(L\)). Czy może on również odebrać sygnał SOS rozbitka, czy jest zbyt daleko?
Przenieś długości odcinków \(LX\), \(A_1X\) i \(A_2X\) z rozwiązania ćwiczenia 1 do podanej skali. Wykorzystując te odległości (zaokrąglone do najbliższej najmniejszej jednostki skali), rozwiąż zadanie numerycznie.
Wykorzystując konstrukcję z ćwiczenia 1, rozwiąż zadanie ponownie — tym razem opierając się wyłącznie na konstrukcjach geometrycznych.
Rozwiązanie.
- Aby rozwiązać problem, musimy określić zasięg urządzenia rozbitka, którym jest promień \(r\) półkuli wspomnianej w rozwiązaniu poprzedniego zadania. Przenosząc odcinki \(A_1X\) i \(A_2X\) na skalę i zaokrąglając ich długości do najbliższej dziesiątej części kilometra, otrzymujemy \(\lvert A_1X \rvert \doteq 2{.}9\,\text{km}\) oraz \(\lvert A_2X \rvert \doteq 3{.}4\,\text{km}\). Długości te są oczywiście promieniami \(r_1\) i \(r_2\) okręgów \(k_1\) i \(k_2\).
Rozważmy rzut półkuli, w którym okręgi \(k_1\) i \(k_2\) pojawiają się jako równoległe odcinki \(K_1L_1\) i \(K_2L_2\), tak że mają tę samą symetralną \(o\), ich długości wynoszą odpowiednio \(2r_1\) i \(2r_2\), a pionowa odległość między nimi wynosi \(0{.}5\,\text{km}\). Niech \(S\) będzie środkiem półkuli, \(S_1\) środkiem odcinka \(K_1L_1\), a \(S_2\) środkiem odcinka \(K_2L_2\). Zobacz rysunek poniżej, na którym dla jasności poziom morza jest również zaznaczony jako prosta linia \(h\).
Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkątów \(SS_1K_1\) i \(SS_2L_2\), otrzymujemy następujące równania:
\[ \begin{align*} r^2 &= r_1 ^2 + \lvert SS_1 \rvert ^2 \\ r^2 &= r_2 ^2 + \lvert SS_2 \rvert ^2. \end{align*} \]
Wiemy również, że \(\lvert SS_1 \rvert = \lvert SS_2 \rvert + 0{.}5\). Podstawiając to do pierwszego równania i porównując oba wyrażenia, otrzymujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą \(\lvert SS_2 \rvert\), które rozwiązujemy w następujący sposób:
\[ \begin{align*} r_2 ^2 + \lvert SS_2 \rvert ^2 &= r_1 ^2 + \left( \left\lvert SS_2 \right\rvert + 0{.}5 \right) ^2 \\[1mm] \left\lvert SS_2 \right\rvert &= r_2^2 - r_1^2 - 0{.}25 \end{align*} \]
Rozwiązując dla \(r\) za pomocą drugiego równania i podstawiając, otrzymujemy:
\[ r = \sqrt{r_2 ^2 + \left(r_2^2 - r_1^2 - 0{.}25 \right)^2 } \doteq 4{.}5\,\text{km}. \]
Odległość od statku do rozbitka jest równa długości odcinka \(LX\). Przenosząc ten odcinek na skalę, otrzymujemy \(\lvert LX \rvert \doteq 4{.}0,\text{km}\), co jest wartością mniejszą niż zasięg \(r\) sygnału rozbitka. W związku z tym statek może odebrać sygnał.
- Aby skonstruować geometryczne rozwiązanie zadania (tj. określić promień \(r\) półkuli), używamy tego samego pomocniczego rzutu półkuli, co w ćwiczeniu 2a. Środek półkuli \(S\) jest punktem przecięcia wspólnej symetralnej \(o\) odcinków \(K_1L_1\) i \(K_2L_2\) z symetralną odcinka \(L_1L_2\), ponieważ \(L_1L_2\) jest cięciwą półkola \(k\). Pożądany promień \(r\) jest na przykład długością odcinka \(SK_1\) — patrz rysunek.
Aby wykonać konstrukcję, przenosimy odległości \(r_1\) i \(r_2\) z rozwiązania zadania 1 (przypomnijmy, że \(r_1=\lvert A_1X\rvert\) oraz \(r_2=\lvert A_2X\rvert\)), a także odległość między środkami okręgów, \(|S_1S_2|=d_{0{.}5}\), gdzie \(d_{0{.}5}\) jest odległością na mapie odpowiadającą \(0{.}5\,\text{km}\), pobraną ze skali.
Rzut półkuli na mapę jest ograniczony okręgiem \(l\) o środku w punkcie \(X\) i promieniu \(r\), który przenosimy z rzutu pomocniczego. Po narysowaniu tego okręgu staje się jasne, że statek znajduje się w zasięgu sygnału SOS.
