Optimalizácia výnosov

20 min., 2/3

Pri rozhodovaní o investíciách nestačí spoliehať sa na jednoduché lineárne modely – trh je totiž dynamický a plný neistôt. Zostavenie optimálneho investičného portfólia si tak vyžaduje prístup, ktorý zohľadní nielen očakávaný výnos, ale aj riziko a ďalšie obmedzenia, ako sú dostupné finančné prostriedky alebo požiadavky na diverzifikáciu. Výnosy jednotlivých aktív nie je možné vopred presne určiť – ich správanie je ovplyvnené mnohými faktormi, a preto je potrebné využiť modely založené na kvadratických funkciách. Práve tento prístup – dnes známy ako moderná teória portfólia – položil základy pre nový pohľad na investovanie. Za zásadný prínos v tejto oblasti boli v roku 1990 ocenení Nobelovou cenou Harry Markowitz, William Sharpe a Merton Miller.

Tieto problémy tak vedú na úlohy tzv. kvadratického programovania, čo je oblasť matematickej optimalizácie, ktorá sa zaoberá hľadaním extrémov (zvyčajne minima alebo maxima) kvadratickej funkcie na množine bodov vymedzenej lineárnymi rovnicami a nerovnicami.

Influencer túži po úspechu

Neznámy influencer by rád pomocou propagácie príspevkov a platenej reklamy zvýšil počet svojich sledujúcich na Instagrame a TikToku. Podľa dostupných informácií predpokladá, že investovaných 10 000 Kč do propagácie na Instagrame mu prinesie 1000 sledujúcich a rovnaká suma investovaná do reklamy na TikToku mu prinesie tiež 1000 sledujúcich na tejto sociálnej sieti. Vďaka výhodnej ponuke môže minúť maximálne 20 000 Kč za propagáciu na Instagrame a 10 000 Kč za reklamu na TikToku.

Riešenie. Označme \(x\) veľkosť investície do propagácie na Instagrame v desiatkach tisíc a podobne \(y\) veľkosť investície do reklamy na TikToku, tak optimálna hodnota celkových nákladov musí spĺňať podmienky \[ 0\leq x \leq 2 \qquad\text{a}\qquad 0\leq y\leq 1, \] t. j. leží v obdĺžniku. Do tej istej sústavy súradníc môžeme tiež vyznačiť aj bod, ktorý označuje cieľovú hodnotu počtu sledujúcich. Ak je \(x\) počet sledujúcich na Instagrame v tisícoch a \(y\) počet sledujúcich v tisícoch na TikToku, tak sa jedná o bod so súradnicami \([3,2]\).

Hľadáme teda bod, ktorý leží vnútri daného obdĺžnika a má najmenšiu vzdialenosť od bodu \([3,2]\).

Vzdialenosť ľubovoľného bodu \([x,y]\) od bodu \([3,2]\) je daná vzťahom \[ v(x,y)=\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}. \] Keďže odmocnina je rastúca funkcia, tak ak \(0\leq a<b\), potom nutne platí aj \(\sqrt{a}<\sqrt{b}\). Aby sme teda minimalizovali hodnotu \(\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}\), stačí minimalizovať hodnotu \((x-3)^2+(y-2)^2\).

Pre ľubovoľné \(c>0\) rovnosť \[ (x-3)^2+(y-2)^2=c \] zodpovedá kružnici so stredom v bode \([3,2]\) a polomerom \(\sqrt{c}\), t. j. našou úlohou je nájsť kružnicu s najmenším možným polomerom, ktorá má neprázdny prienik s daným obdĺžnikom. Situácia je znázornená na obrázku, z ktorého môžeme riešenie uhádnuť.

Odtiaľ vidíme, že riešením je bod \([2,1]\). Je to však skutočne pravda? Z obrázku vidíme, že výsledná kružnica sa dotkne daného obdĺžnika v pravom hornom vrchole. To znamená, že prienik tejto kružnice s priamkou určujúcou hornú stranu obdĺžnika a prienik kružnice s priamkou určujúcou pravú stranu obdĺžnika musia byť rovnaké. Inými slovami, sústavy \[ \begin{align*} (x-3)^2+(y-2)^2&=c\\ y&=1 \end{align*} \] a \[ \begin{align*} (x-3)^2+(y-2)^2&=c\\ x&=2 \end{align*} \] musia mať aspoň jedno spoločné riešenie. Vyriešiť každú sústavu osobitne nemôžeme, pretože by sme dostali kvadratickú rovnicu o 2 neznámych. Avšak dosadením \(x=2\) a \(y=1\) dostaneme dvojicu rovníc \[ \begin{align*} (x-3)^2+1&=c\\ 1+(y-2)^2&=c, \end{align*} \] z čoho vyplýva, že nutne \[ (x-3)^2+1=1+(y-2)^2 \] alebo \[ (x-3)^2=(y-2)^2, \] čo po odmocnení dáva \[ |x-3|=|y-2|. \] Táto rovnosť je zjavne splnená pre bod \([2,1]\). Vidíme teda, že najbližšie sa svojmu cieľu dostane, ak investuje maximálnu sumu 20 000 Kč za propagáciu na Instagrame a 10 000 Kč za reklamu na TikToku.

Riešenie. V tomto prípade minimalizujeme vzdialenosť od bodu \([1,3]\). Situácia tak vyzerá nasledovne.

Riešením teda bude bod ležiaci na priamke \(y=1\), čo nás privádza k sústave \[ \begin{align*} (x-1)^2+(y-3)^2&=c\\ y&=1. \end{align*} \] Jedná sa o sústavu kvadratickej a lineárnej rovnice o 3 neznámych, z ktorej ľahko urobíme kvadratickú rovnicu o 2 neznámych \[ (x-1)^2+4=c. \] Z obrázku vidíme, že hľadaná kružnica s najmenším polomerom sa daného obdĺžnika iba dotkne, t. j. číslo \(c\) musí byť také, že kvadratická rovnica má iba 1 riešenie (ak nemá žiadne, je polomer malý a kružnica má prázdny prienik s obdĺžnikom, ak má dve rôzne riešenia, potom nutne existuje kružnica s o niečo menším polomerom, ktorá má opäť neprázdny prienik s obdĺžnikom). Riešenie kvadratickej rovnice je \[ x_{1,2}=\pm\sqrt{c-4}+1. \] Riešenie bude jediné (resp. obe riešenia splynú), iba pre \(c=4\). V takom prípade bude \(x=1\), t. j. riešením je bod \([1,1]\). Tentoraz teda stačí minúť 10 000 Kč za propagáciu na Instagrame a 10 000 Kč za reklamu na TikToku.