Widok na morze

15 min., 1/3

Czy kiedykolwiek spacerując latem wzdłuż brzegu morza, zatrzymałeś się, spojrzałeś na horyzont i zadałeś sobie pytanie: jak daleko sięga mój wzrok? A co, jeśli na drugim brzegu znajduje się coś – czy byłbym w stanie to dostrzec?

Aby uczynić to pytanie bardziej konkretnym, przenieśmy się na chwilę do jednego z najpopularniejszych miejsc wakacyjnych w Europie: Chorwacji, na wybrzeże Morza Adriatyckiego w pobliżu góry Sveti Jure. Oto, co możemy przeczytać o tej górze¹:

Sveti Jure (Święty Jerzy) to najwyższy szczyt (1762 m n.p.m.) wapiennego pasma Biokovo, które rozciąga się na długości 36 km wzdłuż wybrzeża i oddziela Riwierę Makarską od regionu śródlądowego znanego jako Dalmatyńskie Hinterland. Wznosi się nad wybrzeżem niczym potężny kamienny mur. Dzięki swojej wyjątkowej geologii i naturalnemu pięknu część tego obszaru została w 1981 r. uznana za park przyrodniczy (Park Przyrodniczy Biokovo o powierzchni 196 km²).

Charakterystyczną cechą szczytu Sveti Jure jest nadajnik telewizyjny, który można dostrzec z większości okolicznych terenów górskich. W pogodny dzień, przy dobrej widoczności, widok ze szczytu – zarówno w kierunku morza, jak i lądu – jest niezapomniany. Niestety, na szczycie nie ma możliwości zakupu posiłków ani napojów.

Rozwiązanie. Dla uproszczenia załóżmy, że Ziemia jest kulą o promieniu \(6371\,\text{km}\). Niech \(S\) będzie środkiem Ziemi, \(V\) naszą lokalizacją (szczytem góry Sveti Jure), a \(H\) dowolnym punktem na powierzchni morza leżącym na horyzoncie. Przekrój Ziemi przez płaszczyznę \(SVH\) jest okręgiem o promieniu Ziemi, a linia \(VH\) jest styczną do tego okręgu. Oznacza to, że kąt \(VHS\) jest kątem prostym (patrz rysunek poniżej).

Wiemy, że \(\lvert SH \rvert = 6371\,\text{km}\) oraz \(\lvert SV \rvert = 6372{.}762\,\text{km}\) (ponieważ dodajemy wysokość góry do promienia Ziemi). Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(VHS\), obliczamy długość odcinka \(VH\):

\[ \lvert VH \rvert = \sqrt{\lvert SV \rvert ^2 - \lvert SH \rvert ^2} \doteq 150\,\text{km}. \]

Ta długość to odległość do horyzontu, której szukaliśmy.

Rozwiązanie. Rozwiążemy to zadanie, wyobrażając sobie hipotetyczną górę o tej samej wysokości co Monte Calvo, której szczyt znajduje się dokładnie na horyzoncie. W takim przypadku góra byłaby po prostu ukryta za horyzontem. Oznaczmy szczyt tej hipotetycznej góry jako \(M\), jej pionową rzutnię na poziom morza jako \(M_0\), a rzutnię punktu \(V\) (Sveti Jure) jako \(V_0\).

Naszym celem jest określenie odległości między dwiema górami, tj. długości łuku \(M_0V_0\). Jeśli długość ta jest mniejsza niż \(210\,\text{km}\) (rzeczywista odległość), wówczas Monte Calvo będzie znajdować się powyżej horyzontu i będzie widoczne ze Sveti Jure.

Niech \(\alpha\) będzie kątem \(VSH\), a \(\beta\) kątem \(MSH\). Ze znanych długości przeciwprostokątnej i przyległego boku w trójkącie prostokątnym \(VHS\) otrzymujemy:

\[ \cos\alpha = \frac{6371}{6372{.}762} \Longrightarrow \alpha \doteq 1^{\circ}\,20'\,51''. \]

Podobnie, z trójkąta \(MHS\):

\[ \cos\beta = \arccos \frac{6371}{6372{.}056} \Longrightarrow \beta \doteq 1^{\circ}\,3'\,35''. \]

Długość łuku \(M_0V_0\), odpowiadająca kątowi \(\alpha + \beta\), może być następnie obliczona przy użyciu proporcji bezpośredniej i znanego obwodu koła:

\[ \frac{\alpha + \beta}{360^{\circ}}\cdot 2\pi\cdot 6371 \doteq 268\,\text{km}. \]

Ponieważ prawdziwa góra Monte Calvo znajduje się bliżej, jej szczyt wznosi się ponad horyzont i przy dobrej widoczności można ją dostrzec ze szczytu Sveti Jure.

Literatura i źródła

Literatura

• Chorvatsko.cz. Sveti Jure (online). Dostępne pod adresem: https://www.chorvatsko.cz/stdal/svjure.html (dostęp 12 grudnia 2024 r.).

Źródła danych liczbowych

• Sveti Jure, SKas – Praca własna, CC SA 4.0, dostępna pod adresem: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/The_highest_peak_Sv_Jure_%281762_m%29_in_Biokovo_Nature_Park.jpg (dostęp 12 grudnia 2024 r.).